체험물 소개
어떤 길이 가장 빠를까요?
세 개의 곡선(직선, 사이클로이드, 포물선) 위에서 공을 떨어뜨려 어느 공이
가장 먼저 떨어지는지 관찰해봅시다.
가장 먼저 떨어지는지 관찰해봅시다.
교육과정
| 초등 | 중등 | 고등 |
|---|---|---|
| 초6 비와 비율 | 중1 문자와 식 | 고3 미적분의 활용 |
관련 내용
- 최단강하곡선 문제
- 1696년 스위스의 수학자 베르누이는 유럽의 수학자들에게 ‘최단강하곡선’ 문제를 냈습니다. 물체가 사선 방향으로 위에서 아래로 떨어질 때 어떤 경로를 따라 내려가는 것이 가장 빠른지를 찾는 것이었죠. 정답은 사이클로이드라는 곡선이었고 이 곡선을 찾아낸 수학자들은 뉴턴, 라이프니츠 등 총 5명이었습니다.
- 사이클로이드 곡선
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원이 직선 위를 구를 때 원 위의 한 점이 그리는 자취를 사이클로이드 곡선이라고 합니다. 이 곡선은 경로 위의 각 지점에서 가속도가 줄어드는 정도가 다른 길보다 작기 때문에 도착 지점까지 걸리는 시간이 다른 길보다 짧죠. 이러한 성질을 이용해 롤러코스터의 길, 스케이트 보드장 등을 사이클로이드 모양으로 만들기도 합니다.
[원 위의 한 점이 그리는 자취]
[스케이트 보드장]
- 사이클로이드 곡선의 성질
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사이클로이드 곡선은 두 가지 성질을 가지고 있습니다.
1. 두 점을 연결하는 여러 가지 선 중에서 사이클로이드 곡선 위를 움직이는 물체는 어떠한 경로보다도 가장 빠른 시간에 도착합니다. 그래서 사이클로이드 곡선을 '최단 강하 곡선'이라고 부릅니다.
2. 사이클로이드 곡선 위의 서로 다른 두 지점에서 두 개의 공을 동시에 굴리면 이 두 개의 공은 항상 같은 시간에 도착합니다. 이러한 이유로 사이클로이드 곡선을 '등시 곡선' 이라고도 부릅니다.